Взаимное расположение прямых в пространстве. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. - 22 Января 2012 - Шпора по Аналитической геометрии (1семестр / 1 курс)

Главная » » Взаимное расположение прямых в пространстве. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.

19:05 Взаимное расположение прямых в пространстве. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.
Взаимное расположение прямых в пространстве Возможны четыре различных случая расположения двух прямых в пространстве: – прямые скрещивающиеся, т.е. не лежат в одной плоскости; – прямые пересекаются, т.е. лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку; – прямые параллельные, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются; – прямые совпадают. Получим признаки этих случаев взаимного расположения прямых, заданных каноническими уравнениями $l_{{}_1}\colon~\frac{x-x_{{}_1}}{a_{{}_1}}=\frac{y-y_{{}_1}}{b_{{}_1}}=\frac{z-z_{{}_1}}{c_{{}_1}}, \quad l_{{}_2}\colon~\frac{x-x_{{}_2}}{a_{{}_2}}=\frac{y-y_{{}_2}}{b_{{}_2}}=\frac{z-z_{{}_2}}{c_{{}_2}}\,.$ где $M_{{}_1}(x_{{}_1},y_{{}_1},z_{{}_1}),\,M_{{}_2}(x_{{}_2},y_{{}_2},z_{{}_2})$ — точки, принадлежащие прямым $l_{{}_1}$ и $l_{{}_2}$ соответственно, a $\vec{p}_{{}_1}=a_{{}_1}\vec{i}+b_{{}_1}\vec{j}+c_{{}_1}\vec{k},$ $\vec{p}_{{}_2}=a_{{}_2}\vec{i}+b_{{}_2}\vec{j}+c_{{}_2}\vec{k}$ — направляющие векторы (рис.4.34). Обозначим через $\vec{m}=\overrightarrow{M_{{}_1}M_{{}_2}}=(x_{{}_2}-x_{{}_1})\vec{i}+(y_{{}_2}-y_{{}_1})\vec{j}+(z_{{}_2}-z_{{}_1})\vec{k}$ вектор, соединяющий заданные точки. Перечисленным выше случаям взаимного расположения прямых $l_{{}_1}$ и $l_{{}_2}$ соответствуют следующие признаки: – прямые $l_{{}_1}$ и $l_{{}_2}$ скрещивающиеся $\Leftrightarrow$ векторы $\vec{m},\,\vec{p}_{{}_1},\,\vec{p}_{{}_2}$ не компланарны; – прямые $l_{{}_1}$ и $l_{{}_2}$ пересекаются $\Leftrightarrow$ векторы $\vec{m},\,\vec{p}_{{}_1},\,\vec{p}_{{}_2}$ компланарны, а векторы $\vec{p}_{{}_1},\,\vec{p}_{{}_2}$ не коллинеарны; – прямые $l_{{}_1}$ и $l_{{}_2}$ параллельные $\Leftrightarrow$ векторы $\vec{p}_{{}_1},\,\vec{p}_{{}_2}$ коллинеарны, а векторы $\vec{m},\,\vec{p}_{{}_2}$ не коллинеарны; – прямые $l_{{}_1}$ и $l_{{}_2}$ совпадают $\Leftrightarrow$ векторы $\vec{m},\,\vec{p}_{{}_1},\,\vec{p}_{{}_2}$ коллинеарны. Эти условия можно записать, используя свойства смешанного и векторного произведений. Напомним, что смешанное произведение векторов в правой прямоугольной системе координат находится по формуле: $\left\langle\vec{m},\vec{p}_{{}_1},\vec{p}_{{}_2}\right\rangle= \,\,\vline\!\!\begin{array}{*{20}c} x_{{}_2}-x_{{}_1}&y_{{}_2}-y_{{}_1}&z_{{}_2}-z_{{}_1}\\ a_{{}_1}&b_{{}_1}&c_{{}_1}\\ a_{{}_2}&b_{{}_1}&c_{{}_2} \end{array}\!\!\vline\,.$ Равенство нулю смешанного произведения векторов является необходимым и достаточным условием их компланарности. Поэтому: – прямые $l_{{}_1}$ и $l_{{}_2}$ скрещивающиеся $\Leftrightarrow$ определитель отличен от нуля; – прямые $l_{{}_1}$ и $l_{{}_2}$ пересекаются $\Leftrightarrow$ определитель равен нулю, а вторая и третья его строки не пропорциональны, т.е. $\operatorname{rang}\!\begin{pmatrix}a_{{}_1}&b_{{}_1}&c_{{}_1}\\a_{{}_2}&b_{{}_2}&c_{{}_2}\end{pmatrix}=2\,;$ – прямые $l_{{}_1}$ и $l_{{}_2}$ параллельные $\Leftrightarrow$ вторая и третья строки определителя пропорциональны, т.е. $\operatorname{rang}\!\begin{pmatrix}a_{{}_1}&b_{{}_1}&c_{{}_1}\\a_{{}_2}&b_{{}_2}&c_{{}_2}\end{pmatrix}=1\,,$ а первые две строки не пропорциональны, т.е. $\operatorname{rang}\!\begin{pmatrix}x_{{}_2}-x_{{}_1}&y_{{}_2}-y_{{}_1}&z_{{}_2}-z_{{}_1}\\a_{{}_1}&b_{{}_1}&c_{{}_1}\end{pmatrix}=2\,;$ – прямые $l_{{}_1}$ и $l_{{}_2}$ совпадают $\Leftrightarrow$ все строки определителя пропорциональны, т.е. $\operatorname{rang}\!\begin{pmatrix}x_{{}_2}-x_{{}_1}&y_{{}_2}-y_{{}_1}&z_{{}_2}-z_{{}_1}\\a_{{}_1}&b_{{}_1}&c_{{}_1}\\a_{{}_2}&b_{{}_2}&c_{{}_2}\end{pmatrix}=1\,.$ Расстояние между скрещивающимися прямыми Напомним, что расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра, т.е. кратчайшее расстояние между точками этих прямых. Найдем расстояние между скрещивающимися прямыми, заданными каноническими уравнениями $l\colon_{{}_1}~\frac{x-x_{{}_1}}{a_{{}_1}}=\frac{y-y_{{}_1}}{b_{{}_1}}=\frac{z-z_{{}_1}}{c_{{}_1}}, \quad l_{{}_2}\colon~\frac{x-x_{{}_2}}{a_{{}_2}}=\frac{y-y_{{}_2}}{b_{{}_2}}=\frac{z-z_{{}_2}}{c_{{}_2}},$
1 2 3 4 5 Просмотров: 2435 \| Добавил: admin \| Рейтинг: 0.0/0

Всего комментариев: 0