Шпора по Аналитической геометрии (1семестр / 1 курс)

(23) Классификация кривых второго порядка

admin — Wed, 30 May 2012 06:36:16 GMT

Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля.

Классификация кривых второго порядка

[править]Невырожденные кривые

Кривая второго порядка называется невырожденной, если Могут возникать следующие варианты:

Невырожденная кривая второго порядка называется центральной, если
- эллипс — при условии и ;
  - частный случай эллипса — окружность — при условии или
- мнимый эллипс (ни одной вещественной точки) — при условии
- гипербола — при условии
Невырожденная кривая второго порядка называется нецентральной, если
- парабола — при условии

[править]Вырожденные кривые

Кривая второго порядка называется вырожденной, если . Могут возникать следующие варианты:

вещественная точка на пересечении двух мнимых прямых (вырожденный эллипс) — при условии
пара вещественных пересекающихся прямых (вырожденная гипербола) — при условии
вырожденная парабола — при условии
- пара вещественных параллельных прямых — при условии
- одна вещественная прямая (две слившиеся параллельные прямые) — при условии
- пара мнимых параллельных прямых (ни одной вещественной точки) — при условии

(22) Фокальные свойства эллипсов, парабол и гипербол

admin — Wed, 30 May 2012 06:33:15 GMT

Фокальное свойство эллипса: Эллипс является множеством точек, сумма расстоя-

ний от которых до фокусов постоянна: F1M + F2M = 2a.

Фокальное свойство гиперболы: Гипербола является геометрическим местом точек,

разность расстояний от которых до фокусов по абсолютной величине постоянна:

|F1M − F2M| = 2a.

Фокальное свойство параболы:
Таким образом, парабола представляет собой множество всех точек плоскости, равноотстоящих от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы). Это характеристическое свойство параболы.

(20) Критерий Сильвестра

admin — Wed, 30 May 2012 06:24:13 GMT

Критерий Сильвестра определяет, является ли симметричная квадратная матрица положительно (отрицательно, неотрицательно) определённой.

Пусть квадратичная форма имеет в каком-то базисе матрицу

Тогда эта форма положительно определена, если и только если все её главные (угловые) миноры положительны. Форма отрицательно определена, если и только если знаки чередуются, причём . Здесь главными минорами матрицы называются определители вида

Для неотрицательно определённых матриц критерий действует только в одну сторону: если форма неотрицательно определена, то главные миноры неотрицательны. Обратное неверно. Например, матрица

не является неотрицательно определённой — так как, например, для . В то же время все её главные миноры равны 0, то есть неотрицательны.

Критерий отрицательной определённости квадратичной формы

Для отрицательной определённости квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы главные миноры чётного порядка её матрицы были положительны, а нечётного порядка — отрицательны.

Доказательство сводится к предыдущему случаю, так как матрица является отрицательно определённой тогда и только тогда, когда матрица является положительно определённой. При замене матрицы на противоположную главные миноры нечётного порядка меняют знак, а главные миноры чётного порядка остаются такими же.

(19) положительно и отрицательно определенные квадратичные формы. канонический вид

admin — Wed, 30 May 2012 06:22:34 GMT

Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определённой, если для любого выполнено неравенство . Положительно определённые и отрицательно определённые формы называются знакоопределёнными.
Квадратичная форма называется знакопеременной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.
Квадратичная форма  называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если   для любого .

Квадратичные формы
Также можно сформулировать положительную определённость через квадратичные формы. Пусть  будет полем вещественных () или комплексных () чисел, а  будет векторным пространством над . Эрмитова форма
является билинейным отображением, притом числом, сопряженным , будет . Такая функция  называется положительно определённой, когда  для любого ненулевого .

Для любой квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, а сама форма имеет канонический вид:

(18) теорема инерции

admin — Wed, 30 May 2012 06:13:42 GMT

(17) приведение квадратичной формы к нормальному виду методом лагранжа

admin — Wed, 30 May 2012 06:09:44 GMT

Метод Лагранжа — метод приведения квадратичной формы к каноническому виду, указанный в 1759 году Лагранжем.

[править]Описание

Данный метод состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов. Пусть

есть данная квадратичная форма. Возможны два случая:

хотя бы один из коэффициентов при квадратах отличен от нуля. Не нарушая общности, будем считать (этого всегда можно добиться соответствующей перенумерацией переменных);
все коэффициенты , но есть коэффициент , отличный от нуля (для определённости пусть будет ).

В первом случае преобразуем квадратичную форму следующим образом:

, где

, а через обозначены все остальные слагаемые.

представляет собой квадратичную форму от n-1 переменных .

С ней поступают аналогичным образом и так далее.

Заметим, что

Второй случай заменой переменных сводится к первому.

(16) Ранг квадратичной формы

admin — Wed, 30 May 2012 06:04:55 GMT

Связанные определения

Матрицу называют матрицей квадратичной формы в данном базисе. В случае, если характеристика поля не равна 2, можно считать, что матрица квадратичной формы симметрична, то есть .
Для любой квадратичной формы существует единственная симметричная билинейная форма , такая, что . Билинейную форму называют полярной к , она может быть вычислена по формуле

Матрица квадратичной формы в произвольном базисе совпадает с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе.

Если матрица квадратичной формы имеет полный ранг, то квадратичную форму называют невырожденной, иначе — вырожденной.
Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определённой, если для любого выполнено неравенство . Положительно определённые и отрицательно определённые формы называются знакоопределёнными.
Квадратичная форма называется знакопеременной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.
Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если для любого .

Рангом квадратичной формы
Рангом квадратичной формы, называется ранг ее матрицы. Такая квадратичная форма называется невырожденной. Ранг квадратичной формы не изменяется при линейном невырожденном преобразовании. Если ранг квадратичной формы меньше чем и-1, то поверхности уровня называют цилиндрическими.

(15) Квадратичные формы и их матрицы

admin — Wed, 30 May 2012 06:00:46 GMT

Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.

Определение

Пусть есть векторное пространство над полем и — базис в .

Функция называется квадратичной формой, если её можно представить в виде

где , а — некоторые элементы поля .

Свойства

Критерий Сильвестра
- Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.
- Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.
Билинейная форма, полярная положительно определённой квадратичной форме, удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения.

Для любой квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, а сама форма имеет канонический вид:
- Разность между числом положительных () и отрицательных () членов в этой записи называется сигнатурой квадратичной формы. Сигнатура, также как и числа положительных и отрицательных слагаемых, не зависят от способов приведения квадратичной формы к каноническому виду (закон инерции Сильвестра).
Для приведения квадратичной формы к каноническому виду обычно используется метод Лагранжа.

[править]Примеры

Скалярное произведение векторов — симметричная билинейная функция. Соответствующая квадратичная форма является положительно определённой, она сопоставляет вектору квадрат его длины.
Квадратичная форма на плоскости (вектор имеет две координаты: и ) является знакопеременной, она приводится к каноническому виду с помощью линейной замены .

Примеры квадратичной формы матриц:

(14) Теорема Эйлера (теория чисел)

admin — Wed, 30 May 2012 05:57:21 GMT

Теоре́ма Э́йлера в теории чисел гласит:

Если и взаимно просты, то , где — функция Эйлера.

Частным случаем теоремы Эйлера является малая теорема Ферма (при простом m). В свою очередь, теорема Эйлера является следствием теоремы Лагранжа.

(13) Ортогональные матрицы и их операторы

admin — Wed, 30 May 2012 05:56:12 GMT

Ортогональная матрица — квадратная матрица A с вещественными элементами, результат умножения которой на A^T равен единичной матрице:^[1]

или, что эквивалентно, её обратная матрица равна транспонированной матрице:

Свойства

Столбцы и строки ортогональной матрицы образуют системы ортонормированных векторов, то есть:

где , n — порядок матрицы, а — символ Кронекера.

Другими словами, скалярное произведение строки на саму себя равно 1, а на любую другую строку — 0. Так же и для столбцов.

Множество ортогональных матриц порядка над полем образует группу по умножению, так называемую ортогональную группу которая обозначается или (если опускается, то предполагается ).
Ортогональные матрицы соответствуют линейным операторам, переводящим ортонормированный базис линейного пространства в ортонормированный.
Любая вещественная ортогональная матрица подобна блочно-диагональной матрице с блоками вида

[править]Примеры

— единичная матрица

— пример матрицы поворота

— пример перестановочной матрицы

Определитель ортогональной матрицы равен , что следует из свойств определителей:

Примеры ортогональных операторов

Пример 1. Пусть

— оператор зеркального отражения пространства геометрических векторов V3 относительно плоскости XOY . Докажем, что ^ A — ортогональный оператор.

Решение.

1. Матрица оператора

в базисе → i, → j, → k есть

A =

ж
з
з
и

1	0	0
0	1	0
0	0	−1

ц
ч
ч
ш

2. Находим транспонированную матрицу

AT =

ж
з
з
и

1	0	0
0	1	0
0	0	−1

ц
ч
ч
ш

3. Вычисляем

A · AT =

ж
з
з
и

1	0	0
0	1	0
0	0	−1

ц
ч
ч
ш

ж
з
з
и

1	0	0
0	1	0
0	0	−1

ц
ч
ч
ш

ж
з
з
и

1	0	0
0	1	0
0	0	1

ц
ч
ч
ш

Так как A · AT = E , оператор

— ортогональный.

Пример 2. Пусть

— оператор поворота пространства геометрических векторов V3 относительно оси OZ на угол j = π/2 . Докажем, что ^ A — ортогональный оператор.

Решение.

1. Матрица оператора

в базисе → i, → j, → k есть

A =

ж
з
з
и

0	−1	0
1	0	0
0	0	1

ц
ч
ч
ш

2. Находим транспонированную матрицу

AT =

ж
з
з
и

0	1	0
−1	0	0
0	0	1

ц
ч
ч
ш

3. Вычисляем

A · AT =

ж
з
з
и

0	−1	0
1	0	0
0	0	1

ц
ч
ч
ш

ж
з
з
и

0	1	0
−1	0	0
0	0	1

ц
ч
ч
ш

ж
з
з
и

1	0	0
0	1	0
0	0	1

ц
ч
ч
ш

Так как A · AT = E , оператор

— ортогональный.

¾¾¾¾ * * * ¾¾¾¾