Определители и их свойства. - 22 Января 2012 - Шпора по Аналитической геометрии (1семестр / 1 курс)

Главная » » Определители и их свойства.

19:09 Определители и их свойства.
Определитель [править] Материал из Википедии — свободной энциклопедии У этого термина существуют и другие значения, см. Определитель (значения). Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца. Определитель матрицы А обозначается как: det(A), \|А\| или Δ(A). Свойства определителей Определитель — кососимметричная полилинейная функция строк (столбцов) матрицы. Полилинейность означает, что определитель линеен по всем строкам (столбцам): $\Delta (\hat A_1, \ldots, \alpha\hat A_i+\beta\hat {A'}_i, \ldots, \hat A_n) = \alpha\Delta (\hat A_1, \ldots, \hat A_i, \ldots, \hat A_n)+ \beta\Delta (\hat A_1, \ldots, \hat {A'}_i, \ldots, \hat A_n)$ , где $\hat A_1$ и т. д. — строчки матрицы, $\Delta (\hat A_1, \ldots, \hat A_i, \ldots, \hat A_n)$ — определитель такой матрицы. При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится. Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю. Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю. Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1). Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя. Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю. Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю. Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю. Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей (cм. также формулу Бине-Коши). С использованием индексной нотации определитель матрицы 3×3 может быть определён с помощью символа Леви-Чивита из соотношения: $\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ \end{vmatrix} =\sum_{i,j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_{i} b_{j} c_{k}.$
1 2 3 4 5 Просмотров: 883 \| Добавил: admin \| Рейтинг: 0.0/0

Всего комментариев: 0