(9) собственные вектора и собственные значения матрицы - 30 Мая 2012 - Шпора по Аналитической геометрии (1семестр / 1 курс)

Главная » » (9) собственные вектора и собственные значения матрицы

09:40

(9) собственные вектора и собственные значения матрицы

Собственными числами матрицы являются корни уравнения

$\displaystyle \vert A-{\lambda}E\vert=0$

и только они.

Собственные векторы и собственные значения

Пусть A – матрица некоторого линейного преобразования порядка n.

Определение. Многочлен n-ой степени

P(l)=det(A-lЕ) (1.1)

называется характеристическим многочленом матрицы А, а его корни, которые могут быть как действительными, так и комплексными, называются характеристическими корнями этой матрицы.

Определение. Ненулевой вектор x линейного пространства V, удовлетворяющий условию

А(х)=lх, (1.2)

называется собственным вектором преобразования A. Число lназывается собственным значением.

Замечание. Если в пространстве V задан базис, то это условие можно переписать следующим образом:

Ах=lх, (1.3)

где A – матрица преобразования, x – координатный столбец.

Определение. Алгебраической кратностью собственного значения l_jназывается кратность корня l_j характеристического многочлена.

Определение. Совокупность всех собственных значений называетсяспектром матрицы.

Алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов

Найти собственные значения матрицы:
- записать характеристическое уравнение:
  
  det(A-lЕ)=0; (1.4)
- найти его корни l _j, j=1,...,n и их кратности.
Найти собственные векторы матрицы:
- для каждого l _j решить уравнение
  
  (A-l _jE)x=0; (1.5)
- найденный вектор х и будет собственным вектором, отвечающим собственному значению l _j.

Пример1

Найдем собственные значения и собственные векторы, если известна матрица преобразования:

Записываем характеристический многочлен (1.1) и решаем характеристическое уравнение (1.4):

Получаем два собственных значения: l₁=1 кратности m₁=2 и l₂=-1 кратности m₂=1.

Далее с помощью соотношения (1.5) находим собственные векторы. Сначала ищем ФСР для l₁=1:

Очевидно, что rang=1, следовательно, число собственных векторов для l₁=1 равно n-rang=2. Найдем их:

Аналогичным образом находим собственные векторы для l₂=-1. В данном случае будет один вектор:

Дополнительная информация:

Определение собственного числа и собственного вектора квадратной матрицы

Собственным вектором квадратной матрицы M называется вектор $\vec v ~, |\vec v| \not=0$ , который удовлетворяет соотношению $M \vec v = \lambda \vec v$ , где $λ$ — собственное значение, соответствующее данному собственному вектору. Одному собственному значению может соответствовать несколько (линейно независимых) собственных векторов, в таком случае говорят о собственном подпространстве для данного собственного значения. Собственными векторами линейного преобразования называются собственные вектора матрицы, определяющей это преобразование.

Свойства собственных векторов и значений

Линейная комбинация собственных векторов матрицы $M$ , соответствующих одному и тому же собственному значению $λ$ , также является собственным вектором $M$ с собственным значением $λ$ .

Количество различных собственных значений не может превышать размер матрицы.

Сумма размерностей собственных подпространств, соответствующих всем собственным значениям равна размерности матрицы (в случае рассмотрения комплексных чисел).

Собственные векторы, самосопряженного оператора А соответствующие различным собственным значениям ортогональны. Т. е. если $M\vec v_1=\lambda_1v_1$ , $M\vec v_2=\lambda_2v_2$ и $\lambda_1\ne\lambda_2$ , то $(v_1,v_2)=0\frac{}{}$

Для произвольной матрицы это не верно.

Вычисление собственных векторов и значений методом прямых итераций

Самым простым способом численного нахождения собственных значений и собственных векторов является метод прямых итераций. Он заключается в построении последовательности векторов $\vec v_0$ , $M \vec v_0$ , $MM \vec v_0$ , $MMM \vec v_0$ и т. д., то есть в многократном домножении случайного ненулевого начального вектора $v 0$ на матрицу M. Можно доказать, что если вектор $M \vec v_0$ имеет ненулевые проекции на все собственные вектора M (случайное взятие координат $\vec v_0$ гарантирует это с почти единичной вероятностью), то такой итеративный процесс сойдётся к собственному вектору $\vec v$ , соответствующему максимальному собственному значению $λ m a x$ . Вычисление остальных собственных значений возможно с помощью вычитания проекции очередного вектора итераций на подпространство из уже полученных векторов.

Недостаток этого метода заключается в том, что он не работает на матрицах, у которых совпадает абсолютная величина каких-то двух собственных значений. Например, таким образом невозможно найти ни одного собственного вектора дискретного косинусного преобразования: так как оно является обратным по отношению к самому себе, то повторное его применение к случайному вектору приведёт к заведомо расходящейся последовательности, состоящей из двух чередующихся векторов.

Просмотров: 2829 | Добавил: admin | Рейтинг: 0.0/0

Всего комментариев: 0

Шпора по Аналитической Геометрии (1семестр)

Меню сайта

Наш опрос