(8) диагональные матрицы и ДИАГОНАЛИЗИРУЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ - 30 Мая 2012 - Шпора по Аналитической геометрии (1семестр / 1 курс)

Главная » » (8) диагональные матрицы и ДИАГОНАЛИЗИРУЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

09:33 (8) диагональные матрицы и ДИАГОНАЛИЗИРУЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Диагональная матрица — квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю. Определение Квадратная матрица $D=(d_{ij})$ , где $d_{ij}=0$ для всяких $i\neq j$ , называется диагональной матрицей. Диагональная матрица имеет вид: $D=\begin{bmatrix} d_{11} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & d_{22} & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 &\cdots & d_{nn} \end{bmatrix},$ Такая матрица является одновременно и верхнетреугольной и нижнетреугольной. [править]Обозначение Диагональная матрица $D$ c элементами $(d_{1},d_{2},\dots,d_{n})$ , стоящими на главной диагонали обозначается следующим образом: $D=\mathrm{diag}\,\{d_{1},d_{2},\dots,d_{n}\}$ . [править]Свойства Диагональная матрица является симметричной: $D^{T}=D$ . Ранг диагональной матрицы равен количеству ненулевых элементов, находящихся на главной диагонали. Определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов: $\mathrm{det}\,D=d_{11}d_{22}\dots d_{nn}$ . Алгебраическое дополнение недиагонального элемента диагональной матрицы равно нулю, то есть $D_{ij}=\begin{cases}0,&i\ne j;\\ \prod\limits_{i=1}^{n-1}d_{ii},&i=j.\end{cases}$ Обратная матрица для диагональной матрицы равна: $D^{-1}=\begin{bmatrix} d_{11}^{-1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & d_{22}^{-1} & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 &\cdots & d_{nn}^{-1} \end{bmatrix},$ [править]Примеры Нулевая матрица $~0=\mathrm{diag}\,\{0,0,\dots,0\}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 &\cdots & 0 \end{bmatrix},$ и единичная матрица $E=\mathrm{diag}\,\{1,1,\dots,1\}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 &\cdots & 1 \end{bmatrix},$ доставляют простейшие примеры диагональных матриц. ДИАГОНАЛИЗИРУЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Определение. Линейный оператор j : Lⁿ ® Lⁿ называется диагонализируемым, если существует базис е в Lⁿ такой, что [] - диагональная матрица, [] = diag(l₁,…,l_п).
1 2 3 4 5 Просмотров: 3867 \| Добавил: admin \| Рейтинг: 0.0/0