(6) Матрица перехода от одного базиса к другому - 30 Мая 2012 - Шпора по Аналитической геометрии (1семестр / 1 курс)

Главная » » (6) Матрица перехода от одного базиса к другому

09:29

(6) Матрица перехода от одного базиса к другому

Ма́трицей перехо́да от базиса $\langle a_1, a_2, \ldots, a_n \rangle$ к базису $\langle b_1, b_2, \ldots, b_n \rangle$ является матрица, столбцы которой — координаты разложения векторов $\langle b_1, b_2, \ldots, b_n \rangle$ в базисе $\langle a_1, a_2, \ldots, a_n \rangle$ .

Обозначается $P_{a \rightarrow b} \in F^{n*n}$

Представление

Так как

$\mathbf{b}_1 = \alpha_{11}\mathbf{a}_1 + \alpha_{12}\mathbf{a}_2 + \ldots + \alpha_{1n}\mathbf{a}_n$ .

$\mathbf{b}_2 = \alpha_{21}\mathbf{a}_1 + \alpha_{22}\mathbf{a}_2 + \ldots + \alpha_{2n}\mathbf{a}_n$ .

$\ldots$ .

$\mathbf{b}_n = \alpha_{n1}\mathbf{a}_1 + \alpha_{n2}\mathbf{a}_2 + \ldots + \alpha_{nn}\mathbf{a}_n$ .

Матрица перехода это

$\begin{pmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{21}&... & \alpha_{n1} \\ \alpha_{12} & \alpha_{22}&... & \alpha_{n2} \\ ...&...&...&... \\\alpha_{1n} & \alpha_{2n}&... & \alpha_{nn} \end{pmatrix}$

[править]Использование

При умножении столбца, составленного из коэффициентов разложения вектора по базису $a_1, a_2, \ldots, a_n$ , на матрицу, обратную к матрице перехода, мы получаем тот же вектор, выраженный через базис $b_1, b_2, \ldots, b_n$ .

Из-за того, что уменьшает объём работы при переводе векторов аффинных пространств и в пространстве столбцов $R^n$ в другие базисы, используется в трёхмерном моделировании.

[править]Пример

Для того, чтобы повернуть вектор на угол θ против часовой стрелки, можно умножить матрицу поворота на него:

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin\theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$

Просмотров: 5434 | Добавил: admin | Рейтинг: 5.0/1

Всего комментариев: 0

Шпора по Аналитической Геометрии (1семестр)

Меню сайта

Наш опрос

Представление

[править]Использование

[править]Пример

Поиск

Статистика