(4) Линейные отображения, операторы и их матрицы. Примеры - 30 Мая 2012 - Шпора по Аналитической геометрии (1семестр / 1 курс)

Главная » » (4) Линейные отображения, операторы и их матрицы. Примеры

09:22

(4) Линейные отображения, операторы и их матрицы. Примеры

Лине́йное отображе́ние, лине́йный опера́тор — обобщение линейной числовой функции (точнее, функции $y=kx$ ) на случай более общего множества аргументов и значений. Линейные операторы, в отличие от нелинейных, достаточно хорошо исследованы, что позволяет успешно применять результаты общей теории, так как их свойства не зависят от природы величин.

Формальное определение

Лине́йным отображе́нием векторного пространства $L_K$ над полем $K$ в векторное пространство $M_K$ (лине́йным опера́тором из $L_K$ в $M_K$ ) над тем же полем $K$ называется отображение

$f\colon L_K\to M_K$ ,

удовлетворяющее условию линейности

$f(x + y) = f(x) + f(y)$ ,

$f(\alpha x) = \alpha f(x)$ .

для всех $x,y\in L_K$ и $\alpha\in K$ .

[править]Пространство линейных отображений

Если определить операции сложения и умножения на скаляр из основного поля $K$ как

$(f + g)(x) = f(x) + g(x)\quad \forall x\in L_K$
$(kf)(x) = kf(x)\quad \forall x\in L_K, \forall k\in K$

множество всех линейных отображений из $L_K$ в $M_K$ превращается в векторное пространство, которое обычно обозначается как $\mathcal{L}(L_K, M_K)$

Примеры

Примеры линейных однородных операторов:

оператор дифференцирования: $L\{x(\cdot)\}=y(t)=\frac{dx(t)}{dt}$ ;
оператор интегрирования: $y(t)=\int\limits_0^t\!x(\tau)\,d\tau$ ;
оператор умножения на определённую функцию $\varphi(t)\colon y(t)=\varphi(t)x(t)$ ;
оператор интегрирования с заданным «весом» $\varphi(t)\colon y(t)=\int\limits_0^t\!x(\tau){\varphi}(\tau)\,d\tau$
оператор взятия значения функции $f$ в конкретной точке $x_0$ : $L\{f\}=f(x_0)$ ^[4];
оператор умножения вектора на матрицу: $b=Ax$ ;
оператор поворота вектора.