(2) Обратные матрицы и их свойства - 30 Мая 2012 - Шпора по Аналитической геометрии (1семестр / 1 курс)

Главная » » (2) Обратные матрицы и их свойства

09:15

(2) Обратные матрицы и их свойства

Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

$\! AA^{-1} = A^{-1}A = E$

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

Свойства обратной матрицы

$\det A^{-1} = \frac{1}{\det A}$ , где $\ \det$ обозначает определитель.
$\ (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ для любых двух обратимых матриц $A$ и $B$ .
$\ (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$ где $*^T$ обозначает транспонированную матрицу.
$\ (kA)^{-1} = k^{-1}A^{-1}$ для любого коэффициента $k\not=0$ .
Если необходимо решить систему линейных уравнений $Ax=b$ , (b — ненулевой вектор) где $x$ — искомый вектор, и если $A^{-1}$ существует, то $x=A^{-1} b$ . В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.