(20) Критерий Сильвестра - 30 Мая 2012 - Шпора по Аналитической геометрии (1семестр / 1 курс)

Главная » » (20) Критерий Сильвестра

10:24

(20) Критерий Сильвестра

Критерий Сильвестра определяет, является ли симметричная квадратная матрица положительно (отрицательно, неотрицательно) определённой.

Пусть квадратичная форма имеет в каком-то базисе матрицу

$A=\left|\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix}\right|.$

Тогда эта форма положительно определена, если и только если все её главные (угловые) миноры $\Delta_i$ положительны. Форма отрицательно определена, если и только если знаки $\Delta_i$ чередуются, причём $\Delta_1<0$ . Здесь главными минорами матрицы $A$ называются определители вида

$\Delta_1=a_{11},\ \Delta_2=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}, ...,$

$\Delta_i=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1i} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2i} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{ii}\end{vmatrix}, ...,$

$\Delta_n=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}.$

Для неотрицательно определённых матриц критерий действует только в одну сторону: если форма неотрицательно определена, то главные миноры неотрицательны. Обратное неверно. Например, матрица

$M=\left|\begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}\right|$

не является неотрицательно определённой — так как, например, $(Mv,v)=-2$ для $v=(0,1,-1)$ . В то же время все её главные миноры равны 0, то есть неотрицательны.

Критерий отрицательной определённости квадратичной формы

Для отрицательной определённости квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы главные миноры чётного порядка её матрицы были положительны, а нечётного порядка — отрицательны.

Доказательство сводится к предыдущему случаю, так как матрица $A$ является отрицательно определённой тогда и только тогда, когда матрица $-A$ является положительно определённой. При замене матрицы $A$ на противоположную главные миноры нечётного порядка меняют знак, а главные миноры чётного порядка остаются такими же.

Просмотров: 4008 | Добавил: admin | Рейтинг: 0.0/0

Всего комментариев: 0

Шпора по Аналитической Геометрии (1семестр)

Меню сайта

Наш опрос

Критерий отрицательной определённости квадратичной формы

Поиск

Статистика