(17) приведение квадратичной формы к нормальному виду методом лагранжа - 30 Мая 2012 - Шпора по Аналитической геометрии (1семестр / 1 курс)

Главная » » (17) приведение квадратичной формы к нормальному виду методом лагранжа

10:09

(17) приведение квадратичной формы к нормальному виду методом лагранжа

Метод Лагранжа — метод приведения квадратичной формы к каноническому виду, указанный в 1759 году Лагранжем.

[править]Описание

Данный метод состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов. Пусть

$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j$

есть данная квадратичная форма. Возможны два случая:

хотя бы один из коэффициентов $a_{ii}$ при квадратах отличен от нуля. Не нарушая общности, будем считать $a_{11} \neq 0$ (этого всегда можно добиться соответствующей перенумерацией переменных);
все коэффициенты $~a_{ii} = 0, i = 1, 2, ..., n$ , но есть коэффициент $a_{ij}, i \neq j$ , отличный от нуля (для определённости пусть будет $a_{12} \neq 0$ ).

В первом случае преобразуем квадратичную форму следующим образом:

$f(x_1, x_2, ..., x_n) = (a_{11}x_1^2 + 2a_{12}x_1x_2 + ... + 2a_{1n}x_1x_n) + f_1(x_2, x_3, ..., x_n) =$

$= \frac{1}{a_{11}}(a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n)^2 - \frac{1}{a_{11}}(a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n)^2 + f_1(x_2, x_3, ..., x_n) =$

$= \frac{1}{a_{11}}y_1^2 + f_2(x_2, x_3, ..., x_n)$ , где

$~y_1 = a_{11}x_1 + a_{12}x_2 +...+ a_{1n}x_n$ , а через $~f_2(x_2, x_3, ..., x_n)$ обозначены все остальные слагаемые.

$~f_2(x_2, ..., x_n)$ представляет собой квадратичную форму от n-1 переменных $~x_2, x_3, ..., x_n$ .

С ней поступают аналогичным образом и так далее.

Заметим, что $y_1 = \frac{1}{2}\frac{\partial f}{\partial x_1}$

Второй случай заменой переменных $~x_1 = y_1 + y_2, x_2 = y_1 - y_2, x_3 = y_3, ..., x_n = y_n$ сводится к первому.

Просмотров: 3716 | Добавил: admin | Рейтинг: 5.0/1