(16) Ранг квадратичной формы - 30 Мая 2012 - Шпора по Аналитической геометрии (1семестр / 1 курс)

Главная » » (16) Ранг квадратичной формы

10:04

(16) Ранг квадратичной формы

Связанные определения

Матрицу $\,(a_{ij})$ называют матрицей квадратичной формы в данном базисе. В случае, если характеристика поля $\,K$ не равна 2, можно считать, что матрица квадратичной формы симметрична, то есть $\,a_{ij}=a_{ji}$ .
Для любой квадратичной формы $\,Q$ существует единственная симметричная билинейная форма $\,B$ , такая, что $\,Q(x)=B(x,x)$ . Билинейную форму $\,B$ называют полярной к $\,Q$ , она может быть вычислена по формуле

$B(x,y)=\frac{1}{4}\,(Q(x+y)-Q(x-y)).$

Матрица квадратичной формы в произвольном базисе совпадает с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе.

Если матрица квадратичной формы имеет полный ранг, то квадратичную форму называют невырожденной, иначе — вырожденной.
Квадратичная форма $\,Q$ называется положительно (отрицательно) определённой, если для любого $x\neq 0$ выполнено неравенство $\,Q(x)>0$ $\,(Q(x)<0)$ . Положительно определённые и отрицательно определённые формы называются знакоопределёнными.
Квадратичная форма $A(x,x)$ называется знакопеременной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.
Квадратичная форма $\,Q$ называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если $A(x,x)\geq 0$ $(A(x,x)\leq 0)$ для любого $x\in L$ .

Рангом квадратичной формы
Рангом квадратичной формы, называется ранг ее матрицы. Такая квадратичная форма называется невырожденной. Ранг квадратичной формы не изменяется при линейном невырожденном преобразовании. Если ранг квадратичной формы меньше чем и-1, то поверхности уровня называют цилиндрическими.

Просмотров: 859 | Добавил: admin | Рейтинг: 0.0/0

Всего комментариев: 0

Шпора по Аналитической Геометрии (1семестр)

Меню сайта

Наш опрос

Связанные определения

Поиск

Статистика