(15) Квадратичные формы и их матрицы - 30 Мая 2012 - Шпора по Аналитической геометрии (1семестр / 1 курс)

Главная » » (15) Квадратичные формы и их матрицы

10:00

(15) Квадратичные формы и их матрицы

Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.

Определение

Пусть $\,L$ есть векторное пространство над полем $\,K$ и $e_1,e_2,\dots,e_n$ — базис в $\,L$ .

Функция $Q : L \to K$ называется квадратичной формой, если её можно представить в виде

$Q(x)=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_i x_j,$

где $x=x_1 e_1+x_2 e_2+\cdots+x_n e_n$ , а $\,a_{ij}$ — некоторые элементы поля $\,K$ .

Критерий Сильвестра
- Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.
- Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.
Билинейная форма, полярная положительно определённой квадратичной форме, удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения.

Для любой квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, а сама форма имеет канонический вид:
$A(x,x)= x^2_1+ \cdots+ x^2_p - x^2_{p+1}- \cdots -x^2_{p+n}.$
- Разность между числом положительных ( $p$ ) и отрицательных ( $n-p$ ) членов в этой записи называется сигнатурой квадратичной формы. Сигнатура, также как и числа положительных и отрицательных слагаемых, не зависят от способов приведения квадратичной формы к каноническому виду (закон инерции Сильвестра).
Для приведения квадратичной формы к каноническому виду обычно используется метод Лагранжа.

Скалярное произведение векторов $\,(x,y)$ — симметричная билинейная функция. Соответствующая квадратичная форма $\,Q(x)=(x,x)$ является положительно определённой, она сопоставляет вектору $\,x$ квадрат его длины.
Квадратичная форма $\,Q(x)=x_1x_2$ на плоскости (вектор $\,x$ имеет две координаты: $\,x_1$ и $\,x_2$ ) является знакопеременной, она приводится к каноническому виду $x_1^2-x_2^2$ с помощью линейной замены $\,x_1 = x_1'+x_2', \ x_2 = x_1'-x_2'$ .