Главная » » (13) Ортогональные матрицы и их операторы

09:56

(13) Ортогональные матрицы и их операторы

Ортогональная матрица — квадратная матрица A с вещественными элементами, результат умножения которой на A^T равен единичной матрице:^[1]

$AA^{T} = A^{T}A = E,$

или, что эквивалентно, её обратная матрица равна транспонированной матрице:

$\! A^{-1} = A^{T}.$

Свойства

Столбцы и строки ортогональной матрицы образуют системы ортонормированных векторов, то есть:

$\! \sum_{i} A_{ij} A_{ik}=\delta_{jk}$

$\! \sum_{i} A_{ji} A_{ki}=\delta_{jk}$

где $i\in \{1,\;\ldots,\;n\}$ , n — порядок матрицы, а $\delta_{jk}$ — символ Кронекера.

Другими словами, скалярное произведение строки на саму себя равно 1, а на любую другую строку — 0. Так же и для столбцов.

Множество ортогональных матриц порядка $n$ над полем $k$ образует группу по умножению, так называемую ортогональную группу которая обозначается $O_n(k)$ или $O(n,\;k)$ (если $k$ опускается, то предполагается $k=\R$ ).
Ортогональные матрицы соответствуют линейным операторам, переводящим ортонормированный базис линейного пространства в ортонормированный.
Любая вещественная ортогональная матрица подобна блочно-диагональной матрице с блоками вида

$(\pm 1)$ и $\begin{pmatrix}\ \ \ \cos\varphi&\sin\varphi\\-\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix}.$

[править]Примеры

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$ — единичная матрица

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 0.96 & -0.28 \\ 0.28 & \;\;\,0.96 \\ \end{pmatrix}$ — пример матрицы поворота

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ — пример перестановочной матрицы

Определитель ортогональной матрицы равен $\pm 1$ , что следует из свойств определителей:

$\! 1 = \det(I) = \det(A^TA)=\det(A^T)\det(A)=\det(A)\det(A)=\det(A)^2=1.$

Примеры ортогональных операторов

Пример 1. Пусть ^ A — оператор зеркального отражения пространства геометрических векторов V3 относительно плоскости XOY . Докажем, что ^ A — ортогональный оператор.

Решение.

1. Матрица оператора ^ A в базисе → i, → j, → k есть

A = ж
з
з
и
1 0 0
0 1 0
0 0 −1
ц
ч
ч
ш .

2. Находим транспонированную матрицу

AT = ж
з
з
и
1 0 0
0 1 0
0 0 −1
ц
ч
ч
ш .

3. Вычисляем

A · AT = ж
з
з
и
1 0 0
0 1 0
0 0 −1
ц
ч
ч
ш · ж
з
з
и
1 0 0
0 1 0
0 0 −1
ц
ч
ч
ш = ж
з
з
и
1 0 0
0 1 0
0 0 1
ц
ч
ч
ш .

Так как A · AT = E , оператор ^ A — ортогональный.

Пример 2. Пусть ^ A — оператор поворота пространства геометрических векторов V3 относительно оси OZ на угол j = π/2 . Докажем, что ^ A — ортогональный оператор.

Решение.

1. Матрица оператора ^ A в базисе → i, → j, → k есть

A = ж
з
з
и
0 −1 0
1 0 0
0 0 1
ц
ч
ч
ш .

2. Находим транспонированную матрицу

AT = ж
з
з
и
0 1 0
−1 0 0
0 0 1
ц
ч
ч
ш .

3. Вычисляем

A · AT = ж
з
з
и
0 −1 0
1 0 0
0 0 1
ц
ч
ч
ш · ж
з
з
и
0 1 0
−1 0 0
0 0 1
ц
ч
ч
ш = ж
з
з
и
1 0 0
0 1 0
0 0 1
ц
ч
ч
ш .

Так как A · AT = E , оператор ^ A — ортогональный.

¾¾¾¾ * * * ¾¾¾¾

Просмотров: 2535 | Добавил: admin | Рейтинг: 0.0/0

Всего комментариев: 0

Шпора по Аналитической Геометрии (1семестр)

Меню сайта

Наш опрос

Свойства

[править]Примеры

Примеры ортогональных операторов

Поиск

Статистика