(12) собственные пространства и их нахождение - 30 Мая 2012 - Шпора по Аналитической геометрии (1семестр / 1 курс)

Главная » » (12) собственные пространства и их нахождение

09:49

(12) собственные пространства и их нахождение

Свойства собственных пространств

Конечномерные линейные пространства

Выбрав базис в $n$ -мерном линейном пространстве $L$ , можно сопоставить линейному преобразованию $A\colon L \to L$ квадратную $n\times n$ матрицу и определить для неё характеристический многочлен матрицы

$P_A(\lambda)=\det (A-\lambda \cdot E) = \sum\limits_{k=0}^{n}a_k \lambda^k$ .

Характеристический многочлен не зависит от базиса в $L$ . Его коэффициенты являются инвариантами оператора $A$ . В частности, $a_0 = \det\,A$ , $a_{n-1} = \operatorname{tr}\, A$ не зависят от выбора базиса.
Собственные значения, и только они, являются корнями характеристического многочлена матрицы.
Количество различных собственных значений не может превышать размер матрицы.
Если выбрать в качестве базисных векторов собственные вектора оператора, то матрица $A$ в таком базисе станет диагональной, причём на диагонали будут стоять собственные значения оператора. Отметим, однако, что далеко не любая матрица допускает базис из собственных векторов (общая структура описывается нормальной жордановой формой).
Для положительно определённой симметричной матрицы $A$ процедура нахождения собственных значений и собственных векторов является ни чем иным как поиском направлений и длинполуосей соответствующего эллипса.

Пусть числовое поле алгебраически замкнуто (например, является полем комплексных чисел). Тогда характеристический многочлен разлагается в произведение $n$ линейных множителей

$P_A(\lambda)=(-1)^n \prod_{i=1}^n (\lambda - \lambda_i)$

где $\lambda_i \; (i=1,\ldots,n )$ — собственные значения; некоторые из $\lambda_i$ могут быть равны. Кратность собственного значения $\lambda_i$ — это число множителей равных $\lambda - \lambda_i$ в разложении характеристического многочлена на линейные множители (называется также алгебраическая кратность собственного значения).

Размерность корневого пространства $V_{\lambda_i}$ равна кратности собственного значения.
Векторное пространство $L$ разлагается в прямую сумму корневых подпространств (по теореме о жордановой форме):

$L=\bigoplus_{\lambda_i}V_{\lambda_i}$

где суммирование производится по всем $\lambda_i$ — собственным числам $A$ .

Геометрическая кратность собственного значения $\lambda_i$ — это размерность соответствующего собственного подпространства $E_{\lambda_i}$ ; геометрическая кратность собственного значения не превосходит его кратности, поскольку $E_{\lambda_i} \subseteq V_{\lambda_i}$

Просмотров: 12311 | Добавил: admin | Рейтинг: 0.0/0

Всего комментариев: 0

Шпора по Аналитической Геометрии (1семестр)

Меню сайта

Наш опрос

Свойства собственных пространств

Конечномерные линейные пространства

Поиск

Статистика